परावर्तन सूत्र

गणित में फलन f के लिये f(a − x) और f(x) के मध्य सम्बंध को परावर्तन सूत्र अथवा परावर्तन सम्बंध हैं। यह फलनिक समीकरण की विशिष्ट स्थिति है और भाषा में "परावर्तन सूत्र" के लिए "फलनिक समीकरण" शब्द काम में लेना आम है। परावर्तन सूत्र विशिष्ट फलनों के संख्यात्मक विश्लेषण में बहुत उपयोगी है।

ज्ञात सूत्र

सम और विषम फलन a = 0 के निकट साधारण परावर्तन सूत्र की परिभाषा को संतुष्ट करते हैं। सभी सम फलनों के लिए,

$f(-x)=f(x),$

और सभी विषम फलनों के लिए,

$f(-x)=-f(x).$

गामा फलन $\Gamma (z)$ के लिए एक महत्त्वपूर्ण सम्बंध आयलर परावर्तन सूत्र है

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z}$

इसका श्रेय लियोनार्ड ओइलर को दिया गया है।

n-वीं कोटि के बहुगामा फलन ψ⁽ⁿ⁾(z) के लिए भी परावर्तन सूत्र निम्नलिखित है,

$\psi ^{(n)}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {(\pi z)}$

इसकी व्युत्पत्ति इससे होती है कि $\ln \Gamma$ के अवकलन से बहुगामा फलन परिभाषित होता है और इस प्रकार परावर्तन सूत्र में समाहित है।

रीमान जीटा फलन ζ(z) निम्नलिखित फलन को संतुष्ट करता है

${\frac {\zeta (1-z)}{\zeta (z)}}={\frac {2\,\Gamma (z)}{(2\pi )^{z}}}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right),$

और यह रीमान ज़ाई फलन ξ(z) को भी संतुष्ट करता है

$\xi (z)=\xi (1-z)$

सन्दर्भ

• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर परावर्तन सूत्र
• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर बहुगामा फलन