"उल्लेखनीय सर्वसमिकाएँ": अवतरणों में अंतर
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अनुनाद सिंह (वार्ता | योगदान) |
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पदों को एकत्र करने पर:
:<math>(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,</math>
== बहुपद का वर्ग ==
[[चित्र:Trinomio al cuadrado.svg|thumb|एक त्रिपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण]]
:<math>(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,</math>
:<math>(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,</math>
;उदाहरण
:<math> (3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,</math>
गुणा करने पर:
:<math> (3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,</math>
:<math> + 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,</math>
:<math> + (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,</math>
पदों को एकत्र करने के बाद:
:<math>(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,</math>
या:
:<math>(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,</math>
==द्विपद का घन==
[[चित्र:Binomio al cubo.svg|thumb|300px|द्विपद के घन का आयतनों के योग के रूप में चित्रण]]
:<math>(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,</math>
'''''काशी (Cauchy) सर्वसमिका:'''''
:<math>(a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \,</math>
;उदाहरण
:<math>(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,</math>
पदों का समूह बनाने के बाद:
:<math>(x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \,</math>
इसी प्रकार,
:<math>(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,</math>
'''''काशी (Cauchy) सर्वसमिका:'''''
:<math>(a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) \,</math>
;उदाहरण
:<math>(x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 \,</math>
पदों का समूह बनाने के बाद:
:<math>(x-2y)^3 = x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 \,</math>
==आर्गण्ड सर्वसमिका (Argand Identity)==
:<math>(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1 \,</math>
==गाउस (Gauss) की सर्वसमिका==
:<math>a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \,</math>
:<math>a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2} (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2] \,</math>
==लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका==
:<math>(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) \,</math>
:<math>(a+b)^2-(a-b)^2=4ab \,</math>
:<math>(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2) \,</math>
==लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका==
:<math>(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2 \,</math>
:<math>(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2 \,</math>
== अन्यान्य सर्वसमिकाएँ ==
; घनों का योग
: <math> a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \,</math>
; घनों का अन्तर
: <math> a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \,</math>
; ''n''वें घातों का योग
: यदि और केवल यदि "n" [[विषम]] संख्या हो तो , <math> a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 -\cdots + b^{n-1}) \,</math>
; ''n''वें घातों का अन्तर
: <math> a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 +\cdots + b^{n-1}) \,</math>
'''निम्नलिखित सूत्र किसी घन को दो वर्गों के अन्तर के रूप में अभिव्यक्त करता है-
: <math>a^3 = \left(\frac{(a+1)a}{2}\right)^2 - \left(\frac{(a-1)a}{2}\right)^2</math>
== इन्हें भी देखें ==
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