आद्य समाकल

कलन में, एक प्रत्यवकलज, या एक फलन ƒ का अनिश्चित समाकलज एक अवकलनीय फलन F है जिसका अवकलज मूल फलन ƒ के समान है। इसे प्रतीकात्मक रूप से F' = ƒ के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्यवकलज के समाधान की प्रक्रिया को प्रत्यवकलन (या अनिश्चित समाकलन) कहा जाता है, और इसके विपरीत प्रक्रिया को अवकलन कहा जाता है, जो अवकलज खोजने की प्रक्रिया है। प्रत्यवकलजों को प्रायः बड़े रोमन अक्षरों जैसे F और G द्वारा दर्शाया जाता है।

F(x) = (x³/3)-(x²/2)-x+c का स्लोप फिल्ड ; showing three of the infinitely many solutions that can be produced by varying the arbitrary constant C.

कलन के दूसरे मौलिक प्रमेय के माध्यम से प्रत्यवकलज निश्चित समाकलजों से सम्बन्धित हैं: एक बन्द अन्तराल पर एक फलन का निश्चित समाकलज जहाँ फलन रीमैन समाकलनीय है, अन्तराल के अन्त बिन्दुओं पर मूल्यांकन किए गए प्रत्यवकलज के मूल्यों के बीच अन्तर के समान है।

भौतिकी में, प्रत्यवकलज रैखिक गति के सन्दर्भ में उत्पन्न होते हैं (उदाहरणार्थ, स्थिति, वेग और त्वरण के बीच सम्बन्ध को समझाने में)। प्रत्यवकलज की धारणा का विविक्त समतुल्य प्रतिपक्ष है।

प्रयोग और गुण

कलन का मूलभूत प्रमेय का प्रयोग करके निश्चित समाकलजों की गणना करने हेतु प्रत्यवकलजों का प्रयोग किया जा सकता है: यदि F अन्तराल $[a,b]$ पर समाकलनीय फलन ƒ का प्रत्यवकलज है, तो:

$$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).$$

इसलिए, किसी दिए गए फलन ƒ के असीम रूप से कई प्रत्यवकलजों में से प्रत्येक को ƒ का "अनिश्चित समाकलज" कहा जा सकता है और बिना किसी सीमा के समाकलन प्रतीक का प्रयोग करके लिखा जा सकता है: $$\int f(x)\,\mathrm {d} x.$$

यदि F, ƒ का एक प्रत्यवकलज है, और फलन ƒ कुछ अन्तराल पर परिभाषित है, तो प्रत्येक ƒ का अन्य अवकलज G, F से भिन्न है: एक संख्या c ऐसा कि $G(x)=F(x)+C,\forall x$ c को समाकलज स्थिरांक कहा जाता है।

समाकलन की विधियाँ

मूल फलनों के प्रत्यवकलज को खोजना प्रायः उनके अवकलजों को खोजने की तुलना में काफ़ी कठिन होता है (वास्तव में, अनिश्चित समाकलज की गणना हेतु कोई पूर्व-निर्धारित विधि नहीं है)। कुछ मूल फलनों हेतु, अन्य मूल फलनों के सन्दर्भ में एक प्रत्यवकलज खोजना असम्भव है।

प्रत्यवकलज खोजने हेतु कई गुण और तकनीकें उपलब्ध हैं;

• समाकलन की रैखिकता (जो जटिल समाकलजों को सरल समाकलजों में तोड़ता है)
• प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, अक्सर त्रिकोणमितीय सर्वसमिका या प्राकृतिक लघुगणक के साथ संयुक्त
• विपरीत शृंखला नियम (प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन का एक विशेष स्थिति)
• खण्डशः समाकलन (फलनों के गुणाओं को समाकलित करने हेतु)
• विपरीत फलन समाकलन (एक सूत्र जो एक व्युत्क्रमणीय और सन्तत फलन ƒ के व्युत्क्रम ƒ⁻¹ के प्रत्यवकलन को ƒ और f⁻¹ के प्रत्यवकलन के सन्दर्भ में व्यक्त करता है।)
• समाकलन में आंशिक भग्नांक की विधि (जो हमें सभी परिमेय फलन - दो बहुपदों के अंशों को समाकलित करने की अनुमति देती है)
• रिश कलन विधि
• एकाधिक समाकलन हेतु अतिरिक्त तकनीकें (उदाहरणार्थ बहु समाकलज, ध्रुवीय निर्देशांक, जकोबियन और स्टोक्स प्रमेय)
• संख्यात्मक समाकलन (एक निश्चित अभिन्न का अनुमान लगाने की एक तकनीक जब कोई मूल प्रत्यवकलज उपलब्ध नहीं है, जैसा कि exp(−x²))
• समाकल्यों का बीजगणितीय हेरफेर (ताकि अन्य समाकलन तकनीकों, जैसे प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, का प्रयोग किया जा सके)
• पुनरावृत्त समाकलन हेतु कौशी का सूत्र (किसी फलन के n-गुणा प्रत्यवकलज की गणना हेतु) $$\int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,\mathrm {d} x_{n}\cdots \,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,\mathrm {d} t.$$

संगणक बीजगणित प्रणाली का प्रयोग उपर्युक्त प्रतीकात्मक तकनीकों में शामिल कुछ या सभी कार्यों को स्वचालित करने के लिए किया जा सकता है, जो विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब शामिल बीजगणितीय जोड़-तोड़ बहुत जटिल या लम्बा हो। समाकलज जो पहले से ही प्राप्त किए जा चुके हैं, उन्हें समाकल सूची में देखा जा सकता है।

मूलभूत सूत्र

मुख्य लेख: समाकल सूची

इन्हें भी देखें

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